2.2. Чисельне інтегрування. Метод Ейлера (прямокутників). Метод трапецій. Метод Сімпсона (парабол). Метод Монте-Карло. Метод Філона.
2.3. Нахождение минимума функции многих переменных. Метод градиентного спуска
Чисельне інтегрування
При вирішенні завдань наукового і інженерно-технічного характеру математичними методами часто виникає необхідність проінтегрувати яку-небудь функцію. Є функції, які неможливо інтегрувати аналітично, тобто тільки в деяких випадках по заданій функції можна знайти первинну. Загальним способом інтегрування будь-яких функцій є чисельне інтегрування, методи якого в більшості своїй прості і легко перекладаються на алгоритмічні мови
Чисельне інтегрування (історична назва: квадратура) - обчислення значення визначеного інтеграла (як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно рівна площі криволінійної трапеції, яка обмежена віссю абсцис, графіком інтегруємої функції і відрізками прямих x = а і x = b, де а і b - межі інтегрування (див. рис.).
HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Integral_as_region_under_curve.svg" \o "Определённый интеграл как площадь фигуры" INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/200px-Integral_as_region_under_curve.svg.png" \* MERGEFORMATINET
Рис. . Визначений інтеграл як площа фігури.
Чисельні методи інтегрування використовують заміну площі криволінійної трапеції на кінцеву суму площ простіших геометричних фігур, які можуть бути обчислені точно. У цьому сенсі говорять про використання квадратурних формул (по аналогії із завданням про квадратуру круга - побудова квадрата з площею, рівній площі круга з певним радіусом).
У більшості методів використовується наближеною представлення інтеграла у вигляді кінцевої суми (квадратурна формула):
де ci - постійні, звані вагами, а xi - належать інтервалу [а, b] і називаються вузлами.
В основі квадратурних формул лежить ідея апроксимації на відрізку інтегрування графіка підінтегрального виразу функціями простішого вигляду, які легко можуть проінтегрувати аналітично і, таким чином, легко обчислені.
http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/NumMethods/Integration.html
Формула прямоугольников (метод Ейлера).
.
Интегрирование методом прямоугольников (метод Эйлера).
Пусть функцию (рисунок справа ) необходимо проинтегрировать численным методом на отрезке [a, b]. Разделим отрезок на N равных интервалов (на рисунке N = 4).
Площадь каждой из 4-х криволинейных трапеций можно заменить на площадь прямоугольника.
Ширина всех прямоугольников одинакова и равна INCLUDEPICTURE "http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/NumMethods/Integr-new1.files/image029.gif" \* MERGEFORMATINET
В качестве выбора высоты прямоугольников можно предложить выбрать значение функции на левой границе. В этом случае высота первого прямоугольника составит f(a), второго – f(x1), третьего – f(x2), последнего – f(x3). Приближенное значение интеграла получается суммированием площадей прямоугольников
INCLUDEPICTURE "http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/NumMethods/Integr-new1.files/image031.gif" \* MERGEFORMATINET
Если в качестве выбора высоты прямоугольников взять значение функции на правой границе, то в этом случае высота первого прямоугольника составит f(x1), второго – f(x2), третьего – f(x3), последнего – f(b).
INCLUDEPICTURE "http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/NumMethods/Integr-new1.files/image033.gif" \* MERGEFORMATINET
Как видно, в этом случае, одна из формул дает приближение к интегралу с избытком, а вторая c недостатком. Можно предложить еще один способ, очевидно лучший, чем обе эти формулы – использовать для аппроксимации значение функции в середине отрезка интегрирования.
INCLUDEPICTURE "http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/NumMethods/Integr-new1.files/image035.gif" \* MERGEFORMATINET
В общем виде, если отрезок [a, b] разбить на N равных интервалов интегрирования (h) ...
